עריסת ניוטון - )"מטוטלת מנהלים"( צעצוע או מעבדה? ד"ר יוסף שפירא, "קומ אנד סנס", חיפה* הצעצוע ה אינטלקטואלי אשר מעטר שולחנותיהם של מנהלים רבים, אמנם משעשע ומהפנט. כדור אחד פוגע משחרר כדור בקצה השני של השורה. שני כדורים פוגעים משחררים שניים, וכן הלאה. הצופה המסוקרן פונה לספרי פיזיקה בסיסיים כדי לרצות עצמו בחוקי שימור התנע והאנרגיה ובהדגמתם על התנגשות בין שני כדורים. ההרחבה לשורת כדורים נראית כמתבקשת מאליה. האמנם? כשבתי נדרשה לפרויקט מדעי בבית ספר בארה ב, הצעתי לה לחקור את המטוטלת המסקרנת הזו. אספנו כדורי גולף בשולי מגרש אימונים, בנינו מטוטלת לתפארת, הצבנו מצלמת וידאו, והיא צילמה ורשמה ובדקה התאמה לחוקים. פשוט, לא? (1) ובכן, מה קורה כאשר הכדור הפוגע הוא בעל מסה כפולה מזו של כל אחד מהיתר? במה שונה התוצאה מזו של פגיעת שני כדורים בעלי מסה יחידה? )אותה המסה, אותה אנרגיה, אותו תנע(. ומה כאשר הכדור הפוגע הוא בעל מחצית המסה מזו של כל אחד מהיתר? מסתבר שחסרות לנו משוואות לניתוח מטוטלת רבת כדורים, והסיבה היחידה לתגובת המטוטלת, כמו להתנגשות בין שני כדורים זהים, היא הזהות המלאה בין כל הכדורים אשר מאפשרת העברת המ תקף מקצה לקצה ללא שינוי, ובכך לתנועה אסטטית בעלת פשטות מטעה. תובנה של מערכת זו מושגת כאשר נניח קיום מרחקים זעירים בין הכדורים. אין הם משנים את המודל, אלא מבהירים שאין לחצים )כוחות פועלים( בין הכדורים במנוחה. משעשינו זאת לפנינו סדרת מערכות בלתי תלויות, בכל אחת שני כדורים מתנגשים, זה אחר זה. V 21 בהתאמה )הכדור השני,V 11 V 20 ויציאה =0,V 10 m 1 בהתאמה ומהירויות כניסה,m 2 עבור שני כדורים בעלי מסות במנוחה לפני ההתנגשות( נקבל את המשוואות האלה: * קישורים: jshapira@netvision.net.il, www. comm-and-sens.com "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 5 2
ובהנחה שההתנגשות אלסטית לחלוטין, נקבל את המשוואות האלה: (2) לנוחותנו נגדיר. נחלץ את מהירויות המוצא: (3) (4) שתי משוואות אלה מספרות את כל הסיפור. נדון כעת במספר מקרים. V, 11 כלומר: הכדור הפוגע =0,V 21 =V 10 כדור פוגע יחיד: זהו מקרה של התנגשות בין כדורים זהים, 1=q. מיד קיבלנו נעצר, והנפגע יצא במהירות הכניסה של הפוגע. בסדרת ההתנגשויות בין כל כדור לזה שאחריו מתקבלת אותה תוצאה: הנפגע מקבל את מהירות הכניסה של הפוגע, וכך הלאה עד לכדור האחרון, אשר יוצא לדרך במהירות הכניסה של הראשון )איור 1 א(. מכאן הסימטריה המופלאה של המטוטלת. פגיעה של שני כדורים ויותר: כאשר סדרה של שני כדורים פוגעת בשורת הכדורים עד לפגיעה אין כוח הפועל בין שני הכדורים הפוגעים. הכדור הראשון )כדור )II פוגע ראשון ומתחיל את סדרת ההתנגשויות לאורך השורה, עד יציאת הכדור האחרון )כדור )VI במהירות יציאה השווה למהירות הכניסה של הכדור הראשון. מיד כשהכדור הראשון נעצר, פוגע בו מאחור הכדור השני בסדרה )כדור I( ומתחיל סדרת התנגשויות שנייה שבסיומה יוצא הכדור האחרון בשורה )כדור V( במהירות יציאה השווה למהירות הכניסה של הכדור הפוגע השני )כדור I(. כיוון ששני הכדורים הפוגעים מגיעים באותה מהירות, וכיוון שההפרש בזמני הפגיעה שלהם קטן מאוד עד כדי כך שאיננו מבחינים בו, אנו צופים בזוג כדורים פוגע ולעומתו בזוג שיוצא )ראו איור 1 ב(. אותו תהליך קורה כאשר מספר הכדורים הפוגעים גדול משניים: למרות שמדובר בסדרה של התנגשויות המתרחשות זו אחר זו, אנו נבחין כי מספר הכדורים היוצאים מהשורה שווה למספר אלה הפוגעים בה. א: פגיעת כדור אחד ב: פגיעת שני כדורים 6 "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 2 איור 1: מטוטלת של שורת כדורים אחידה
נשוב עתה לשאלתנו: מה אם מסת הכדור הפוגע גדולה מזו של כל אחד מהכדורים בשורה? במקרה זה 1<q (5) (6) V 10 ופוגע בכדור,II מתנגש זה בבא אחריו בשורה ומעביר את התנע עד במפגש הראשון שאליו מגיע הכדור I במהירות V 21 לאחרון בשורה )כדור )VI אשר יוצא במהירות V 11 לאחר ההתנגשות הכדור הפוגע )כדור I(, שמסתו גדולה יותר, אינו נעצר. הוא ממשיך בתנועה, במהירות פחותה של V, 12 וזו של הכדור הנפלט מהשורה ופוגע שנית בכדור.II הפעם מהירות היציאה )המשך התנועה( של כדור I היא V 22 )כדור V( היא וכך בפעם ה- n ( כל עוד יש לפחות n כדורים בשורה( (7) v 2i היא טור גאומטרי..v 2i הסדרה בכל התנגשות יוצא הכדור האחרון בשורה במהירות המתאימה לאותה התנגשות, לפיכך נצפה בסדרת כדורים היוצאים כמניפה. עבור 2=q, לדוגמה, לאחר הפגיעה המהירויות של הכדורים היוצאים מהשורה והמהירויות של כדור I לאחר הפגיעה יהיו לפי טבלה 1. טבלה 1: מהירות היציאה של הכדור הפוגע וזו של הכדור היוצא מהשורה, בכל התנגשות 5 4 3 2 1 התנגשות מספר 1/243 1/81 1/27 1/9 1/3 v 10 מהירות כדור I יוצא \ 4/243 4/81 4/27 4/9 4/3 v 10 מהירות כדור יוצא מהשורה \ סדרת התנגשויות אלה מתוארת באיור 2 ומצולמת באיור 3. "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 7 2
איור 2: כדור בעל מסה 2m פוגע בשורת כדורים אחידה בעלי מסה m א ב ג איור 3: הבזקים של התנגשות כדור גדול בשורת כדורים אחידה )התפתחות מ-א ל-ג( 8 "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 2
מגבר מהירות )8( אם נסדר בשורה כדורים בעלי מסה יורדת לפי טור גאומטרי, נקבל מגבר מהירות ]1[: מהירות היציאה של הכדור האחרון בשורה ( מספר,)IV לאחר שכדור מספר I התנגש בכדור הראשון בשורה ( מספר,)II גדולה פי M ממהירותו של אותו כדור לו התנגש בו ישירות כדור מס. I. I II III IV (9) איור 4: התנגשות בשורת כדורים בעלי מסה יורדת בטור גאומטרי v 21 פוגע בכדור.III כיוון שהמסה של כדור III קטנה מזו כדי להבין זאת, נשוב למשוואה )5(: כדור II שיצא במהירות v 11 v 21 ל-,v 21 כמו,II מתייחסת למהירות הכניסה של כדור v, 31 של כדור II פי q, מהירות היציאה של כדור,III וכן הלאה. עבור סדרה של n כדורים תהיה מהירות היציאה של הכדור בקצה השורה (10) כלומר: קיבלנו מערכת שהיא מגבר מהירות. בדיקה פשוטה מראה כי הגבר המהירות הוא גדול יותר מאשר בהתנגשות q( n 1. הגבר מהירות זה מודגם בטבלה 2. ישירה בין הכדור הפוגע לכדור האחרון )שיחס המסות ביניהם הוא טבלה 2: מהירות היציאה של הכדור האחרון בשורת כדורים בעלי מסה יורדת בטור גאומטרי מס. כדורים בשורה התנגשות ישירה עם כדור IV 4 3 2 1 32/17 256/81 64/27 16/9 4/3 v 10 2=q מהירות כדור יוצא מהשורה \ 81/41 81/16 27/8 9/4 3/2 v 10 3=q מהירות כדור יוצא מהשורה \ נדון עתה במקרה שבו מסת הכדור הפוגע קטנה מזו של כל אחד מיתר הכדורים בשורה: כאן 1>q. הכדור הפוגע ניתר לאחור, ובקצה השורה יוצא כדור במהירות נמוכה מזו של הכדור הפוגע..v 11 =-1/3v 10 : v 21 =2/3v 10 עבור 1/2=q, לדוגמה, כאשר פוגעים שני כדורים, ניתרים שניהם לאחור, במהירות ( v22 ראו נספח( (11) 1 סדרת הכדורים מתאמת את מעבר האנרגיה הקינטית מהכדור הפוגע לכדור האחרון, בדומה לתיאום עכבות בקו תמסורת. מהירות הכדור היוצא גדולה יותר ככל שהתיאום רציף יותר, כלומר, ככל שמספר הכדורים בשורה גדל, עבור יחס נתון בין מסת הכדור הפוגע לזו של האחרון בשורה.)q=constant( "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 9 2
בעוד שני הכדורים האחרונים בשורה יוצאים במהירות (12) לא סיימנו. איור 5: שני כדורים בעלי מסה 2/m פוגעים בשורת כדורים אחידה בעלי מסה m חשיבות השיהוי בין ההתנגשויות ותקפותו של המודל הנדון: לאורך כל התרחיש הנחנו סדרת התנגשויות המופיעות זו אחרי זו עם שיהוי זעיר ביניהן. נשאלות השאלות האלה: 1. ומה אם לא יהיה שיהוי בין ההתנגשויות? 2. ממה נובע השיהוי? 3. מהי תקפות המודל? ובכן אם לא יהיה שיהוי בין ההתנגשויות ולא נוכל להפריד את התהליכים - אין לנו מספיק מידע כדי לנבא את התוצאות. הבעיה הופכת לבעיה לא ודאית ]2[. חוסר שיהוי כרוך גם בהנחה הלא-פיזיקלית שלפיה כל הגופים הם גופים נקודתיים )חסרי מ מדים(. )באין מידע מ מדי, תוצאות ההתנגשות במצבור של חלקיקים תת-אטומיים ניתנות רק לשערוך סטטיסטי(. כזכור, עסקנו עד כה בגופים כפי שהיו לפני ואחרי ההתנגשות ונמנענו מלעסוק בתהליך ההתנגשות. לצורך הבנת מקור השיהוי בין ההתנגשויות נתעמק עתה בתהליך ההתנגשות. נדון תחילה בהתנגשות בין שני גופים במערכת ייחוס של,-mv 10 בהתאמה, ונעצרים mv 10 ו \2 מרכז המסה של שניהם )איור 6 א(. שני גופים זהים מגיעים להתנגשות עם תנע 2\ 2 מודל זה מניח כי המקדם האלסטי k הוא קבוע במהלך הדחיסה. הנחה זו תקפה להתנגשות חד-מ מדית )גופים אחידים ובעלי חתך אחיד, ומגע על פני כל החתך. המגע בהתנגשות בין כדורים אלסטיים הוא על שטח קטן ומשתנה במהלך הדחיסה; משך המגע גדול יותר בערך פי 10-5, והוא יידון בהמשך(. 10 "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 2
(13) בשעה שהם מפעילים כוחות עצומים האחד כנגד ההתמדה של האחר. כוחות אלה דוחסים כל אחד מהגופים כדי 2/Δ.,mv 10 בכיוונים האנרגיה האלסטית שנאצרת במהלך הדחיסה - מאיצה אז את הגופים להיפרדות, כל אחד עם תנע 2/ הפוכים. תהליך זה דומה לתנועה הרמונית פשוטה, אלא שהוא תקף למשך מחצית המחזור בלבד. נדמה את הכיווץ האלסטי של כל הגוף על ידי קפיץ בעל מקדם אלסטי k המחובר לגוף שמסתו m. קירוב זה יספיק לדיון הנוכחי. נשוב להבהירו מאוחר יותר. זמן המחזור של אוסצילטור הרמוני, הבנוי מגוף בעל מסה m וקפיץ בעל מקדם אלסטי k, הוא תהליך ההתנגשות )איור 6 א( הוא סימטרי, כך שכל גוף מתנגש לעומת מישור הסימטריה, וניתן לאפיינו כאוסצילטור הרמוני שמרכיביו m ו- k. מהלך ההתנגשות מהווה חצי מחזור של האוסצילטור, ממגע ועד להינתקות, ולכן משכו (14) א. מערכת ייחוס מרכז המסה ב. מערכת ייחוס של הצופה איור 6: מהלך התנגשות בין שני כדורים ( התפתחות התרחיש מלמעלה למטה( לאחר שמצאנו את משך ההתנגשות, ומכאן את השיהוי המינימלי בין התנגשויות עוקבות - נחזור לחקור את תקפות המודל המניח התנגשויות בלתי תלויות. במערכת הייחוס של הצופה )איור 6 ב( נעים הגופים המתנגשים יחד תוך התנגשות v, 10 שהוא מרחק התנועה של מרכז המסה. אם אמנם הכדורים בשורה מצויים במגע בעת מנוחה - כי אז מרחק של 2/t משמעות תזוזה זו היא פעולה של הכדור הנפגע על זה שאחריו בשורה עוד בטרם הסתיימה ההתנגשות, כך שיש תלות בין ההתנגשויות. "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 11 2
(15) היכן אנחנו, אם כן? הבה נעריך את גודל התזוזה ונשווה אותו עם מרחקים זעירים שעשויים להיות בין הכדורים בכל מקרה )עקב אבק, חספוס משטח וכו (. נשווה את האנרגיה הקינטית לפני ההתנגשות עם זו האלסטית ברגע שיא הדחיסה )בהנחה שההתנגשות אלסטית לחלוטין( ( איור 6 א(. כאשר 2/D הוא מרחק הדחיסה המקסימלי של הגוף. תזוזת הגופים במהלך ההתנגשות )איור 6 ב( היא (16) אומדן התזוזה עבור כדור פלדה במטוטלת הצעצוע הוא כ- 10 מיקרון - מרחק זניח אמנם המאפשר ניתוח על פי המודל של התנגשויות בלתי תלויות )והזנחת תנודות שיוריות של הכדורים בשורה כ שגיאות התקנה של המטוטלת(. ניתן אם כן להסיק כי המודל ישים לגופים קשיחים, למהירות התנגשות סבירה ולמרחקים בין הכדורים הגדולים ממרחק התזוזה במהלך התנגשות. האם הוא נכון גם להתנגשויות רכות יותר ולמהירות התנגשות גדולה? - נראה שלא. נבחן לדוגמה התנגשות בין שתי רכבות. בכל רכבת מותקנים קפיצים בין הקרונות כדי לרכך התנגשות בעת תחילת נסיעה או בעצירה. קשיחות קפיצים אלה נבחרה, בהתחשב במסה של הקרונות, ליצירת משך התנגשות של שנייה עד שתי שניות )לנוחות הנוסעים(. כאשר שתי רכבות מתנגשות במהירות יחסית של 50 מ'/ש', תזוזת הקרון בהתנגשות היא 100 מ. סדרת ההתנגשויות בין הקרונות אינה בלתי תלויה אם כן. (17) נדגים זאת על המטוטלת שלנו. לצורך זה נחליף את כדור II בכדור רך )איור 7, שם משמש מחק גומי במקום הכדור(. k 2 בהתאמה, כך שהמקדם,k 1 ההתנגשות בין כדור הפלדה לכדור גומי מיוצגת על ידי 2 קפיצים בעלי מקדמים המשוקלל של שני אלה בטור הוא: II ומשך ההתנגשות גדל פי 100, בהתאמה. התזוזה הגדולה במהלך ההתנגשות גורמת לכדור k, 1 שהוא קטן פי 10 4 מ להכות בכדור הבא בשורה תוך כדי התנגשותו עם כדור I. המ תקף של ההתנגשות הרכה נפרש על זמן ארוך )פי 100 ממשך התנגשות בין כדורי פלדה(, והכוח האלסטי המקסימלי קטן בהתאם. הדחיסה של כדורי הפלדה לאורך השורה היא זניחה, ושחרורה אינו גורם ליציאת כדור מהשורה. יתרה מכך, כוח הפועל על גוף תורם לדחיסתו במשך המחצית הראשונה של מהלך ההתנגשות )רבע ממחזור תנועה הרמונית(, 2/t, ובולם את שחרור האנרגיה האלסטית במשך המחצית השנייה, כך שלא משתחרר כוח אלסטי להפרדת הכדורים. המ תקף הארוך של כדור הגומי מאיץ את כל שורת הכדורים ברכות, כפי שמראה איור 7. 12 "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 2
איור : 7 כדור גדול פוגע בשורת כדורים אחידה, פרט לכדור הראשון בשורה, שהמקדם האלסטי שלו קטן )כדור "רך"(. הכדור הרך מיוצג על ידי מחק גמיש. התפתחות התרחיש מימין לשמאל עריסת ניוטון מטוטלת המנהלים נמכרת כצעצוע פופולרי החל משנות ה- 60 של המאה ה- 20. שמה המקורי היה עריסת ניוטון, אך היא זכתה לשמות רבים. מתקן המטוטלת רבת הכדורים נבנה לראשונה בתקופתו של ניוטון, כמתקן מדעי להוכחת שימור התנע, על ידי,Willem Jacob s Gravesande אשר נחשב גם למי שהניח את היסודות ללימוד הפיזיקה ]3[. אותו מדען ידוע בניסוי המפורסם לאימות נוסחת האנרגיה הקינטית: הוא הפיל כדורי נחושת על גוש חימר מגבהים שונים, וקיבל כי עומק הגומה שנוצרה מתייחס ישירות לגובה הנפילה )ולריבוע המהירות(. מאותה עת ממשיכה התלבטות החוקרים בפיענוח המטוטלת. [4] Chapman ניתח ב- 1960 את הדינמיקה של מערכת מסות-קפיצים צמודות, הראה כי יש תנועה שיורית של הכדורים בשורה, אף כי קטנה, וזיהה אותה כבעיית התבדרות גל האנרגיה המתפשט לאורך השורה )דיספרסיה(. [5,6] Herrmann ניתח את הדיספרסיה כפונקציה של מנגנון ההתנגשות בין הכדורים. ]7,8[ הם מאמרי סקירה ברמות שונות. נשוב אם כן לתכונות האלסטיות של החומר ולמנגנון ההתנגשות. נבחן התנגשות צירית בין שני גלילים, כך שהמגע מתרחש על פני כל שטח החתך של כל גליל. הצבנו קפיץ מיצג בעל מקדם אלסטי k לייצוג האלסטיות של הגוף כולו. הדחיסה האלסטית של גוף תחת לחץ ניתנת לביטוי כמותי על ידי מודול יאנג: שבו Paskal היא יחידה למדידת לחץ, A הוא שטח החתך שעליו הכוח פועל, L הוא אורך הגוף ו- L הוא מידת הדחיסה )או המתיחה(. 3 מקדם הקפיץ האקויולנטי הוא, אם כן: (18) ההנחה בבסיס הייצוג על ידי הקפיץ היא כי הדחיסה היא אחידה לאורך הגוף וקורית בו-זמנית לאורכו. זה כמובן קירוב של דחיסה סטטית. תגובת גופים פיזיקליים מתאחרת בהתאם למהירות הסופית של התפשטות גל הלחץ האלסטי 3 בנוסף לכיווץ או התארכות אורכית תחת כוח צירי משתנים גם המ מדים הרוחביים של הגוף. היחס שבין השינוי הרוחבי לאורכי נתון על ידי מקדם פואסון, וערכו עבור פלדה הוא כ- 0.3. לטובת הפשטות לא נכללת בדיון כאן התלות במקדם זה, וממילא אין לכך השפעה רבה על הדיוק. "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 13 2
v, c )שהיא מהירות הקול בחומר(, תלויה בצפיפות החומר ( מסה ליחידת נפח( ρ ומקדם לאורכם. מהירות הגל האלסטי, האלסטיות שלו )מודול יאנג(: (19) מהירות הקול בפלדה, לדוגמה, היא כ- 5000 מ'/ש'. עתה נבטא את משך ההתנגשות במונחים אלה )20( כאן V הוא נפח הגוף. משך ההתנגשות t הוא מחצית המחזור של אוסצילטור הרמוני, והוא מתייחס למהירות הגל v ולאורך הגל l אורך הגוף, במונחים של אורך גל, הוא (21) (22) שהוא כשישית אורך גל. דבר זה מבהיר את טיב הקירוב על ידי קפיץ מקומי של התהליך המבוזר )התפשטות הגל( במהלך התנגשות של שני גופים בעלי חתך אחיד )גלילים, לדוגמה(. גל הלחץ הנוצר עם המגע מתפשט לאורך הגוף 4 ומוחזר מהקצה החופשי, בשעה שהוא מביא אותו לתנועה. התנתקות נוצרת כאשר שיא הגל המוחזר הגיע לנקודת המגע והניע את המסה. תהליך ההתנגשות של כדור הוא שונה: ברגע המגע שטח המגע הוא אפסי, אך גדל במהירות אגב יצירת אזור מגע קטן שבו מרוכז לחץ עצום. הלחץ במרבית המסה של הכדור הוא אפסי לעומת זה שבאזור המגע, כך שניתן לתאר את התהליך באמצעות קפיץ שווה-ערך באזור המגע ומסת הכדור שתפקידה אינרציאלי. תהליך זה נותח על ידי (1882) Hertz [9] Heinrich אשר אפיין את כוח הדחיסה שבו x הוא הדחיסה הצירית, E מודול יאנג ו- R רדיוס הכדור )זאת לעומת חוק הוק שבו יחס הדחיסה לינארי(. כתוצאה מכך משך ההתנגשות גדול בערך פי 5 עד 10 מזה המחושב להתנגשות חזיתית של גליל באותו אורך ומסה, ותלוי באופן חלש במהירות ההתנגשות. איור 8 מבהיר את השוני בהתפתחות הכוח לאורך זמן בעת התנגשות חזיתית )כגון התנגשות צירית של גליל( לבין התנגשות של כדור. הראשונה היא תנועה הרמונית, והתפתחות הכוח היא לפי, ואילו בכדור מקדם הכוח אינו לינארי, והכוח גדל לאט בתחילה, כששטח המגע קטן. העקום המקווקו אדום הוא עקום סינוס המראה מתאם של מהלך הכוח בהמשך ההתנגשות למודל תנועה הרמונית. הערכה מקורבת של מהלך הכוח לעקום האדום מותירה זמן שיהוי T אשר עשוי להסביר מדוע כמעט שאין תנועה בשורת הכדורים למרות המגע ביניהם ]6[. 4 גל הלחץ האורכי גורם אמנם להתרחבות מקומית קטנה המתקדמת עם גל הלחץ, אך השפעתה של התרחבות זו על מהירות הגל האורכי זניחה בגופים קשיחים. 14 "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 2
גליל כדור כוח זמן T איור 7: מהלך הכוח בהתנגשות בין גלילים ובהתנגשות בין כדורים התבוננות על שורת הכדורים כמערכת תמסורת מחזורית התומכת בגלים המתפשטים לאורכה מביאה תובנות חדשות: למערכת כזו של מסות וקפיצים יש מספר תדרי תהודה עצמית, והיא תומכת בגל שמהירותו קטנה בהרבה ממהירות הקול בחומר. המערכת דיספרסיבית, כלומר: מהירות הגל )מהירות הפזה( משתנה עם התדר, ולכן גל האנרגיה, הנע במהירות החבורה )אותו גל שצריך להעביר את האנרגיה לכדור האחרון(, מתבדר )במקצת(, וכדורים מתנתקים זה מזה לאורך השורה. בגלל מהלך הכוח בהתנגשות בין הכדורים - הדיספרסיביות במטוטלת זו קטנה יותר מאשר במערך של שורת גלילים. לסיכום במסענו חיפשנו את חוקי השימור במטוטלת הצעצוע ומצאנו הסבר בהוספת תנאי של רווח קטן בין הכדורים, דבר שאפשר ניתוח וחיזוי התנהגות הרמונית עם מערך כדורים זהים, תופעות של התפרסות השורה כשהסימטריה נפגמת, ואף מגבר מהירות במערך כדורים שגודלם משתנה לפי סדרה גאומטרית. שבנו לבחון את הצורך בשיהוי, להיווכח כי בלעדיו אין תשובה ודאית. בחינה מעמיקה יותר הראתה כי למעשה יש תנועה בין הכדורים בשורה, ושבנו לבחון את המנגנון כדי לגלות מבנה מחזורי התומך בגל א טי ודיספרסיבי. התחלנו דרכנו עם צעצוע ומצאנו עצמנו עוברים מסע מרתק דרך תופעות מהותיות בפיזיקה, מסע המשקף את תהליך הגילוי המדעי נדבך אחרי נדבך. "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 15 2
מקורות 1. J. D. Kerwin: Velocity, Momentum, and Energy Transmissions in Chain Collisions, AJP 40, 1152-1157 (1972). 2. D. Gale: An indeterminate Problem in Classical Mechanics, American Mathematical Monthly, Vol. LIX, No.5, May 1952. 3. J. D. Gavenda and J. R. Edington: Newton s Cradle and Scientific Explanation, TPT, 35, 411-417 (Oct 1997). 4. S. Chapman: Misconception Concerning the Dynamics of the Impact Ball Apparatus, AJP 28, 705-711 (1960). 5. L. Flansburg and K. Hudnut: Dynamic solutions for linear elastic collisions, AJP 47, 911-914 (1979). 6. F. Herrmann and P. Schmalzle: Simple explanation of a well-known collision experiment, AJP 49, 761-764 (1981). 7. F. Herrman and M. Seitz: How does the ball-chain work?, AJP 50, 977-981 (1982). 8. Donald Simanek: Newton s Cradle, http://www.lhup.edu/~dsimanek/scenario/cradle.htm 9. W.J. Stronge: Impact mechanics, Cambridge University Press (2000). 16 "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 2
נספח: פגיעת סדרת שני כדורים, 1>q v 10 בהתאמה. )האינדקס הראשון מציין את מספר הכדור,,v 20 =v 10 כדורים II I, מגיעים אל השורה במהירויות והשני - את מספר ההתנגשות(. ביציאה מההתנגשות הראשונה של כדור II עם הכדור הראשון בשורה )כדור )III מהירותו v. 10 נסמן על כן לצורך פשטות הביטויים נייחס להלן את כל הגדלים למהירות ההתחלית כדור II שניתר חזרה מתנגש עם כדור I. שימור התנע בהתנגשות בין כדור II לכדור I: ההתנגשות האלסטית והאנרגיה הקינטית נשמרת. לכן u, 22 שערכה יהיה חיובי. u, 12 שערכה יהיה שלילי )ניתור לאחור(, וגם ל- משוואה ריבועית זו תקפה גם ל- u(, 22 וכך יוצאים מסוף השורה שני כדורים במהירות =u 20 כדור II חוזר ומכה בשורה באותה מהירות תחילית )1= הפתרון השני של המשוואה ישים לכדור I אשר מנתר לאחור במהירות v, 21 וכך מנתרים שני הכדורים הפוגעים לאחור =v 23 כדור II מנתר מההתנגשות השנייה עם כדור III באותה מהירות ביחד. "תהודה", כרך 29, חוברת מס' 17 2